neorientate

Definiţie**. //Se numeşte **graf neorientat** o pereche ordonată de mulţimi (X, U), X fiind o mulţime finită şi nevidă de elemente numite **noduri** sau **vârfuri**, iar U o mulţime de perechi neordonate ( submulţimi cu două elemente) din X, numite **muchii**//.
 * GRAFURI NEORIENTATE -notiuni introductive

Pentru graful de mai sus avem: X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} U={[1,2], [1,4], [1,5], [2,3], [2,5], [3,4], [6,7]} Dacă //u1// şi //u2// sunt două muchii care au o extremitate comună ele se vor numi **adiacente**. Ex. Mai jos avem un graf parţial al grafului de mai sus (Fig.1)
 * Definiţie**. //Un graf parţial al grafului G=(X,U) este un graf G1=(X,V) astfel încât V// // Í U, adică G1 are aceeaşi mulţime de vârfuri ca G iar mulţimea de muchii V este chiar U sau o submulţime a acesteia //.

Cu alte cuvinte, un graf parţial al unui graf se obţine păstrând aceeaşi mulţime de vârfuri şi eliminând o parte din muchii. Ex. Mai jos avem un subgraf al grafului din Fig.1 obţinut prin eliminarea nodului 3
 * Definiţie**. //Un subgraf al unui graf G=(X,U) este un graf H=(Y,V) astfel încât Y// // Ì X iar V conţine toate muchiile din U care au ambele extremităţi în Y. Vom spune că subgraful H este indus sau generat de mulţimea de vârfuri Y. //



**Definiţie**. //Gradul unui vârf x este numărul muchiilor incidente cu x//. Gradul vârfului x se notează cu d(x). Ex. în Fig.1 d(1)=3, d(4)=2, d(8)=0, d(6)=1 Un vârf care are gradul 0 se numeşte **vârf izolat**. Un vârf care are gradul 1 se numeşte **vârf terminal**.
 * Propoziţia 1**. //Dacă un graf G=(X,U) are m muchii şi n vârfuri iar X={x1,x2,..,xn}, atunci d(x1)+d(x2)+...+d(xn)=2m//.
 * Corolar**. //În orice graf G există un număr par de vârfuri de grad impar//.
 * Definiţie**. //Se numeşte graf complet cu n vârfuri un graf care are proprietatea că orice două noduri diferite sunt adiacente//.
 * Propoziţia 2**. //Un graf complet Kn are n(n-1)/2 muchii//.
 * Definiţie**. //Un graf G=(X,U) se numeşte bipartit dacă există două mulţimi nevide A, B astfel încât X=A U B, A// // Ç B = //// F şi orice muchie u a lui G are o extremitate în A iar cealaltă în B //.
 * Definiţie**. //Un graf bipartit se numeşte complet dacă pentru orice x din A şi orice y din B, există în G muchia// //[x,y].//

Dacă vârfurile //xi1, xi2,..., xik// sunt diferite două câte două atunci lanţul se numeşte **elementar**. În caz contrar, lanţul este **neelementar**.
 * Definiţie**. //Se numeşte **lanţ** în G succesiunea de vârfuri L={xi1, xi2,..., xik} cu proprietatea că orice două noduri consecutive din L sunt adiacente, adică// //[xi1, xi2], [xi2, xi3],..., [xik-1, xik]// // Î // //U.//



Ex. L1=[1,2,4] – lanţ elementar L2=[1,2,3,1,2,4] – lanţ neelementar Ex. C=[1,2,3,1] este un ciclu. Ex. C1=[1,2,3,1] este ciclu elementar. C2=[3,1,2,4,8,2,3] este un ciclu neelementar.
 * Definiţie**. //Se numeşte **ciclu** în G un lanţ L pentru care xi1=xik şi toate muchiile adică [xi1, xi2], [xi2, xi3],..., [xik-1, xik] sunt diferite două câte două.//
 * Definiţie**. //Se numeşte **ciclu elementar** un ciclu care are proprietatea că oricare două vârfuri ale sale, cu excepţia primului şi ultimului, sunt diferite două câte două//.
 * Definiţie**. //Un graf G se numeşte **conex** dacă pentru orice două vârfuri x şi y diferite ale sale// //există un lanţ care le leagă//.
 * Definiţie**. //Se numeşte componentă conexă a grafului G=(X, U) un subgraf C=(X1, U1), conex, a lui G care are proprietatea că nu există nici un lanţ în G care să lege un vârf din X1 cu un vârf din X-X1//.